凡人数学徒の徒然

私の身の回りに起きたこと、数学の話題などをポロポロと

最近勉強していること.

今日は最近勉強していることを少し書こうと思う

 

 

勉強って並行してそんなに多くのことをできないですよね.天才の方はそうでもないのかもしれませんが.私は最近大きく分けて2つのことを勉強しています.かなりスローペースなのですが,自分の整理のためにも,これから少し記事にもするかもしれません.間違っているところがあればご教授ください.

Lefschetz fibration

4次元多様体の研究は低次元トポロジーの中ではかなり盛んに研究されているものの1つだと思います.4次元多様体の不変量は符号数というもの(これは4次元多様体の中の2次元部分多様体の交わりを見ることで得る不変量)が初めに導入され,その後,ドナルドソンなどがゲージ理論を駆使することで不変量を作ったりしています.しかし4次元多様体の分類へのゴールには程遠いのが今の現状だと聞きます.

 

Lefshetz fibrationは4次元多様体の構成やその特徴づけによく用いられる概念です.定義は4次元多様体Xから2次元閉曲面へのsmoothな写像として定義され,その特異点が座標近傍を複素2次元で適当にとれば, f(z_1,z_2)=z_1z_2とかける時を言います.

 

まだ勉強途中ではあるのですが,このsingulalityが2-handleの接着に対応していて,基本的に特異点の周りの局所的な記述は閉曲面の近傍に2-handleを特異点のvanishing circle(これはLefschetz fibrationが特異点の近くではモース関数として記述できることからくるハンドル分解のattaching regionの対応している)に沿って接着することでできる.よってこれらを写像類群などで記述できるようになる.

Lefschetz fibrationの1つの面白いところはその亜種であるLefschetz pencilというものが幾何的に意味のある構造であるシンプレクティック構造に対応しているというところである.このことに着目して勉強を始めてみた.シンプレクティック構造やコンタクト構造などは最近の研究の流行りではあるので...

ゲージ理論

これはさっぱりの分野なのですが,ゲージ理論を勉強したいのです.物理の要請から生まれた分野らしいのだが,物理の言葉をファイバー束の言葉に書き換えることができるといった内容らしい.特性類やその他微分幾何の知識をかなり要請するっぽくて理解するのにかなりの時間を要することが予想される.

しかしexotic  \mathbb{R}^4などは知りたいでしょう. そもそも特性類の計算だとか,そういったものが非常に苦手なので克服したいので勉強している.

数学者を目指す上で数式を扱うことから逃げるのは良くないなと笑

 

コロナウイルスがおさまるまで,かなりの時間がかかりそう.家での勉強に慣れてきたのはいいのだが,やっぱり研究室で研究したいな.

毎日東京での新規の感染者数が発表されるのだが,その数字をみては期待と落胆をしている.

こんな一喜一憂なんてしたくはないのだが.