結び目の同値 - 凡人数学徒の徒然

最近は修士論文の作成に忙殺されて全く記事を書けなかった..

今回は結び目の同値性を書くと

しよう.

結び目の同値とはほんわかというと"連続的に変形した時"結び目が同じ形になる時同値という．連続的に変形することをアイソトピーによる変形などという．

さて，アイソトピーとは？

まず次のような連続写像を考える

$F:[0, 1] \times S^3 \to S^3$

これは, $[0, 1]$ の成分を $t$ とすると $f_t$ は $S^3$ から $S^3$ への連続写像になっているというこ

とである.

写像 $f_t$ が結び目 $K, K'$ の間のアイソトピーであるとは，

1. $f_t$ は任意の $t$ に関して同

相写像である．

2. $f_0(K)=K$ , $f_1(K)=K'$ を満たしている．

時をいう．この時結び目 $K, K'$ は同値であるという.

うーん．初学者には難しそう．(そもそも最初はホモトピーという概念から入るものなのだ)

けれど，偉大な数学者ライデマイスターは結び目の射影図を動かすことでこのアイソトピー類を全て表現することができることを示しました．このことによって結び目はその「射影図の同値関係による同値類を考えれば良い」ということになりました．それが有名(?)なライデマイスター変形です．