結び目とは - 凡人数学徒の徒然

3次元トポロジーの対象として非常に良く研究されているものとして、結び目というものがあります。

これは円周の3次元球面への埋め込みとして定義されます。

円周は分かります。◯ですね。数式では

$S^1:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|(x-a)^2+(y-b)^2=r\}$

という式で表せますね。これは、まぁ分かるでしょう。

問題は3次元球面とはなにか？です。まずは2次元球面とはから話しましょう。これは僕らの世界での球面。地球や、サッカーボールの表面です。これを数式に書くと

$x^2+y^2+z^2=1$

とかけます。まぁこれはとくに単位球面というやつです。これを3次元に拡張して

$S^3:=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4|x^2+y^2+z^2+w^2=1\}$

という式で表せるものが3次元球面です。

最後に埋め込みです。これは一対一対応の連続写像で像と定義域が同相なものを言います(これを像への同相写像とか言います)。

つまり円周の3次元球面への埋め込みとは。

$f:S^1\to S^3$

という写像で、一対一対応の連続写像で像と定義域が同相なもの。という事になります。この様な写像の像の事を結び目と呼ぶのです。

絵を描いて置きたいのですけど、著作権とか色々あるのでウィキペディアでイメージしていただけるとありがたいです…

この結び目ですが、今も色々研究されてる分野です。次は結び目の同値について書いていきたいと思います！

意外と文章書くの大変だ…

今日のおススメ数学書！

結び目の教科書としておススメとしてはいっぱいあるのですが。やはり河内先生や、村杉先生の本はあまりにも有名ですね。

河内明夫結び目の理論共立出版

村杉邦夫結び目理論とその応用日本評論社

結び目理論は突き詰めていくと難しいので、これらの本を隅から隅まで理解するとかなりの力がつくと思います。それは結び目に限らず、3次元トポロジーに関してもという意味でですね。