低次元トポロジーとは？？ - 凡人数学徒の徒然

私の専門としてる分野はトポロジーという幾何学の一分野なのですが、その中でも低次元と高次元に分かれます。その区分は

低次元: 0~4次元

高次元: 5次元以上

となっています。どちらもいろいろな結果があり、それぞれの難しさがありますが、なぜ低次元が0~4次元で、5次元や、6次元が含まれないのか？という疑問がのこりますね。これの理由の１つに、ポアンカレ予想があげられると思います。

「単連結なn次元多様体はn次元球面に同相である。」

というもので、特にn=3についてポアンカレという人が予想をしました(こっちをポアンカレ予想というのが正しい)。

歴史的に、この予想は5次元以上で、スメールという方が解き、4次元でフリードマン、3次元はペレルマンという方が解きました。(私的には3次元はサーストンの仕事も大きいと思ってます。)

これらは全く別々の方法によって解決されていますが、最後まで残ったのが3次元の場合でした。

このように、ポアンカレ予想の面から見ると5次元以上と、4次元および3次元は異質なものだったのです。

まぁこんな説明は数学的ではないのですが、今後は少し低次元トポロジーに着目して、書いていこうかなと思います。

結び目とか、ホモロジーとかがいいのかな…？

(今日のおおすめ数学書!)

今日出てきた、同相という言葉を勉強するには次の本が私の1番おススメです。

森田茂之集合と位相空間朝倉書店

これは私的にはコンパクトにまとまっていてほんとに読みやすかった。