3次元多様体とは？
今回は3次元多様体の説明をしましょう．
一般にn次元多様体というと何のなのか？ということを説明していきます．
多様体
(位相)多様体とは，ハウスドルフな位相空間MでMの任意の点pの開近傍がn次元ユークリッド空間と同相なものを言います．
同相であるということを微分同相に言い換えればそれが微分可能多様体です．
多様体論は数学をする上で基礎になります．
微分可能多様体の説明で有名な教科書として以下の２つを挙げておきます．
松本先生の「多様体の基礎」
http://www.utp.or.jp/book/b302120.html
松島先生の「多様体入門」
https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1317-3.htm
3次元多様体はPL多様体として考えれば十分なので(過去記事)，PLカテゴリーを考えます．
3次元多様体
3次元多様体の前に少しそれ以下の多様体について触れましょう．閉多様体とは境界がない多様体のことを言います．1次元と2次元多様体に関しては，実は閉多様体は分類が終わっています．1次元はそもそも円周に同相なものしかありません．こういうときup to homeoで一意であるとか言います．2次元は向き付け可能か不可能かで別れ，さらに種数が違うもので別れます．閉曲面というものになります．
では3次元ですが，3次元でも大まかな分類はされてます．１つはザイフェルト多様体，２つ目にトロイダル多様体，最後に双曲多様体です．どれも無限個の要素を持つクラスではあるのでだいぶザックリではあります．
3次元多様体の理論は他の多様体の理論とは別に発展してきた概念がたくさんあります．
いかにその概念をいくつか紹介しましょう．
ヒーガード分解・・・これは3次元ハンドル体を２つ貼り合わせて3次元多様体ができているとき，その多様体のヒーガード分解と言います．実はすべての閉3次元多様体がヒーガード分解を許容することが知られています．
圧縮不可能曲面・・・これが3次元多様体に埋め込まれていると，3次元多様体は特殊な条件を満たす．実際トロイダル多様体はこれを使い定義されます．圧縮不可能トーラスが埋め込まれた多様体をトロイダル多様体と言います．
Dehn手術・・・3次元球面に埋め込まれた結び目を貼り合わせかたを変えることで，新しい3次元多様体を作るという操作です．すべての3次元多様体はこの操作から作ることができることが知られています．
そのほかにも不変量などいろいろあります．
3次元多様体と結び目
3次元多様体の章で触れましたが，Dehn手術というものがあります．これは既にかなり研究されています．
まず，Dehn手術は3次元多様体の分類にならって，以下のように名前が付けられています．
ザイフェルト手術・・・手術した後にザイフェルト多様体になる．
双曲手術・・・手術した後に双曲多様体になる．
私の尊敬して，大好きな数学者サーストンが
「双曲結び目のDehn手術で得られる多様体は有限個の手術をのぞいて双曲である」
ということを示しました．この有限個の手術を例外手術と言いいます．もちろん例外手術はザイフェルト，トロイダル手術のどちらかになります．
つまり双曲結び目の手術の例外手術はどんな係数なのかということ，またどんな多様体になるのかが重要な問題となります．これらはコンピューターなどを使って今でも盛んに研究されています．
なんか最近，ここでtex打つのがめんどくさいのでpdfを作って乗っければいいかなとか画策してる．
追記：
本質的球面を持つ多様体のことを忘れていました．
